この疑問にお答えします。
結論から言いますと、ゲーミングPC等を持っていない方が、eスポーツのゲームタイトルの練習を行う事は可能です。
今回は秋葉原にあります「アイ・カフェAKIBAPLACE店」を例にその方法を紹介していきます。
アイ・カフェAKIBAPLACE店の特徴は、ゲーミングPCが置いてあるゲーミングエリアがある点でして、このエリア内はボイスチャットもOKなお店です。
店内の施設について

PCやキーボード、マウス、ヘッドフォンは全てRazer系でまとめられていました。
キーボードは押すといわゆる「カチカチ鳴る」仕様で、PUBGをプレイした所、音で押したか押していないかの判断ができる為、使いやすかったです。

次にゲーミングチェアですが、これに関しましてはまぁ、こんなもんかという普通の椅子でした。
ゲームに疲れたら仮眠を取る事ができるようなタイプです。

次にゲーミングPCに入っているソフトですが、League of LegendsとPUBGのSteam版とDMM版、OVER WATCHが標準でインストールされていました。
Battle.netも入っていますので、Blizzard系のStarCraftなどをプレイ可能で、Steamが標準でインストールされてありますので、Steam版のゲームをあらかじめ購入しておけば、PCを購入することなく、アイカフェなどでダウンロードしてプレイも可能です(例えば、Steam版のRAINBOW SIX SIEGEなど)。
Steamを活用すれば、アイ・カフェに限った事ではありませんが、eスポーツカフェやネカフェの高性能PCを使って、ソフト代のみでプレイが可能です。
一応書いておきますが、ネカフェは利用客が退出した後に初期設定を行うため、ダウンロードしたゲームがそのまま残って悪用されるという事はありませんので、安心してください。
また、アイ・カフェではPUBGのSteam版とDMM版は通常有料ですが、DMM版は無料でプレイすることができました。
PUBGのDMM版は全国の指定のネカフェでは、無料でプレイする事が可能だそうです。

ハイスペックPCがある、ゲーミングエリアの様子です。
ハイスペックPC席は20台ほどあり、日曜日のお昼過ぎで40%くらいの入室率で、そこからポツポツ増えてきまして、70~80%くらいがピークといった混み具合でした。
ちなみに「FPSとかはボイスチャットが必須だけど、オープンエリアだからできないの?」という質問が出てくるかと思いますが、このゲーミングエリアはおしゃべりOKでして、ボイスチャット可能です。
他の皆さまは、遠慮なくボイスチャットで仲間と連携を取っていまして、基本的にはヘッドホンを付けてプレイするので、他の人の話し声は全く気になりません。
ただ、ボイスチャット用のマイクは見当たりませんでしたので、もしかしたら持ち込む必要があるかもしれません(もしくは貸出可能?)。

※アイ・カフェHPより

※アイ・カフェHPより。iGS ARENAがゲーミングエリアです
上の二枚はカフェエリアの画像で、利用客がいたのでHPからの写真です。
カフェエリアは共通のスペースですので、誰でも利用が可能でして、しっかり漫画も置いてあります(訪問した日はカイジの最新刊を読みました)。
練習をしてちょっと休憩をしたい場合は、ここで漫画を読んだり、スマホをいじりつつ、フリードリンクで一息付けます(おしゃべり、携帯電話OK)。
以上の画像は8Fのエリアですが、7Fもありまして、そちらはいわゆるネカフェのような個室の空間となっているそうです。

ちなみに初めて入会した方には、次回以降の来店で安くなるクーポンがありまして、これも地味にうれしい点です。
料金体系

上記画像は料金体系でして、18時以降だと少々安くなります。
もしゲーミングPCを持たずにオンラインゲームをプレイするのであれば、通常のネカフェとほぼ同じ料金で利用できるので、選択肢としてはアリです。
ゲーミングPCやキーボード、マウス、ヘッドフォンを揃えるとなると、最低でも10万円以上は掛かってしまいますからね。
もしくは気になるゲームタイトルを試しに何回かプレイしたい、という時にも使えるかもしれません。

また、22歳以下や女性、中高生は一般料金よりも安い金額で利用する事が可能です。
シャワーも使えますので、長時間プレイしたい方も全然問題なしです。
まとめ
アイ・カフェを例に挙げて説明させて頂きましたが、以下の方法を使えば、他のネカフェでもゲーミングPCを持たずにeスポーツタイトルを練習する事ができます。
- ゲーミングPCやマウス等が置いてあるeスポーツカフェ、ネカフェを探す
- SteamやDMM GAMESアカウントでゲームを購入し、上記カフェでダウンロードして練習する
もしプロゲーマーを目指す方であれば、以下の記事も参考になるかと思いますので、合わせてどうぞ。

秋葉原に来たら担々麵もオススメ

ちなみに余談ですが、秋葉原に来ましたら雲林坊(ユンリンボウ)の汁なし担々麵がオススメです。
辛いのがダメな方には申し訳ないですが、多少辛いのがイケる方は是非とも行ってみて下さい。
時間帯によっては、結構並ばないといけませんが、センスの良さを感じる辛旨な担々麵をご賞味いただけます。

担々麵の解説の画像です。
がっつりいきたい方は、半熟卵の乗ったコシヒカリのご飯も頼むと良いですよ。